WENCA: Pak by stálo za úvahu společné klubové čtení s diskusí:)

MAKOSHARK: porad ji ctu, ne nijak pravidelne. na to jsem moc velka lama.

CHRAMOSTAK: Člověk má nějakou jasnou intuici přirozených čísel. Takže sice existují "nestandardní" modely aritmetiky, kde jsou prvky větší než libovolně velké přirozené číslo, tj. věta "existuje číslo, které je větší než všechna čísla, která vznikla konečnou aplikací funkce následník na nulu" je nevyvratitelná, přesto víme, že ve standardním modelu žádné takové číslo není, takže ji bereme jako nepravdivou.
Problém ale je, co to je třeba standardní model teorie množin.

Pokud si dobře pamatuju, tak Wenca (promiň, jestli si tě pletu s někým jiným) kdysi avizoval, že četl Filosofii čísla od V. Kolmana.
To by bylo fajn, kdyby o to něco řekl.

ZIKE: Ono se dá těžko nějak rozumně argumentovat proti tomu článku na wikipedii, protože je to jenom stručný popis, na to by to chtělo mít celou knihu. Zajímalo by mě, jestli v knize nějak probírají argumenty z "opačného spektra", třeba aspoň Husserlova Logická zkoumání.

Co se týče těch metafor kolem nekonečna, myslím, že je jenom jedna idea nekonečna. Rozdíl mezi potenciálním a aktuálním nekonečnem je rozdíl ve formálním používání pojmu nekonečna. V Peanově aritmetice je formalizován koncept potenciálního nekonečna, ale ze sémantického hlediska, význam toho formálního konceptu se realizuje nějakým (aktuálně) nekonečným univerzem (aritmetika má jenom nekonečné modely).
V teorii nekonečných množin existuje formalizace pojmu aktuální nekonečno, tj. objekt, který formálně nějak splňuje naše intuice kolem aktuálního nekonečna, ale pak se v takové teorii automaticky vynořuje pojem "supernekonečna", nekonečna většího než všechna formalizovaná nekonečna. Ordinální čísla jako transfinitní pokračování přirozených čísel jsou formální objekty teorie nekonečných množin, která je formalizací tohohle potenciálního supernekonečna. Třída všech ordinálních čísel je sama aktuální supernekonečno, ale tahle třída už neexistuje jako prvek uvnitř teorie množin, vidíme ji jenom zvenčí.
Myslím, že idea nekonečna by mohla sloužit i jako argument proti materialismu v tom smyslu, že by se ukázalo, že myslící konečný stroj (pokud bychom na chvíli připustili, že to spojení dává smysl) nemůže nijak myslet ani potenciální nekonečno.

"Example of metaphorical ambiguity" jsem neporozuměl. V teorii množin samozřejmě nejsou čísla ani uspořádané dvojice, ale jejich modely. Není nic zvláštního, že se dva různé pojmy můžou modelovat stejnými množinami.

Dál jsem už zatím radši nečetl.

Nějak mi tam vypadlo, že jedině v tom posledním případě se dá nějak uvažovat o jakoby induktivním přístupu.

5+5=11 je zrovna hloupej příklad, musela by se uvést celá aritmetika, aby to dávalo nějakej smysl, hypotéza kontinua mi přijde vhodnější.

Jinak matematika je deduktivní věda, dokonce ta nejdeduktivnější možná, tohle musí být jasné každému, kdo se někdy potkal se systematickým budováním nějakého formalismu stylem věta-důkaz. Co mi přijde zajímavé je ta věc naznačená Makosharkem. Někteří lidé (tuším, že třeba Penrose) věří, že existuje jediná správná matematika, tj. jediná správná pravidla odvozování a k nim jediná sada axiomů. Jenom pořádně nevědí, jak se k takové platonické sadě dostat, takže se pak třeba obracejí směrem k fyzice nebo vymýšlejí ty už zmíněné konstrukce.

KOMATSU: na zaklade toho, ze matika je induktivni veda...proste se to tam naucili jinak - ale nemyslim jenom slova, cela logika mysleni je jiny...nebo klidne tam muze byt i jina realita..proste kdykoliv das dohromady dve hormadky jablek po peti, tak se z toho pomoci magic stane jedenac...fajn svet ne? bys nebral?

ZIKE: A na základě čeho tedy vyvozuješ, že může existovat možný svět, kde 5+5=11?

ZIKE: i see...

PHOBOS99: hele nechce se mi moc rozepisovat, proste jestli to je induktivni veda nebo deduktivni veda, rozdil si asi nekde najdes...myslim to teda hlavne v tom smyslu jak vznikla...

a kdyz rikam, ze je induktvni, tak to muze proste napriklad znamenat, ze je proste myslitelnej a moznej svet, ve kterym muze byt 5+5=11

kdyz rikam, ze matika je subjektivni, tak tim myslim to, ze to je pouze nejaka konstrukce lidsky mysli nebo kultury, ktera ji vsak nijak nepresahuje, je to nastroj, jazyk, kterej si clovek vytvoril pro popis neceho, nebo pro nejake ucely - pred clovekem nic takovyho nebylo...jakoze to neni neco objektivniho, nejaky vztahy, ktery clovek pouze opisuje z reality...proste matika je pravdiva jenom pro cloveka, protoze si to clovek tak vymyslel, ze tomu tak bude...;)

ZIKE: induktivni x deduktivni? to znamena jestli se matematika tvori nebo objevuje, ze? nebo jsem uplne mimo?

a subjektivni x objektivni znamena co?:)

MAKOSHARK: ;)

ZIKE: Tak to se mi naopak silně nelíbí:) Vyjádřím se později, teď musím letět

zajimave auditko, ale kdybych mel asi rict svuj nazor, tak je to celkove mozna takove zbytecne tema...filozofove nemaj do ce pichnout tak delaj tohle :) jakoze matematikovi je fakt celkem fuk nakej ontologickej status cisel nebo nedej boze naka epistemologie do toho zamotana...

jinak jeste by sem patrili otazky jako, zda je induktivni x deduktivni; subjektvni x objektvni

Ja osobne si myslim, ze je spis induktivni a subjektivni...co vy?

btw hodne mam rad tu biologickou teorii, kterou razi kognitivni vedci, hlavne Lakoff a spol...

http://en.wikipedia.org/wiki/Where_Mathematics_Comes_From

Vynikající diskuzní téma!

Z trochu jiného soudku:

Ivan Chvatík - Kde se bere matematika

http://www.cts.cuni.cz/new/data/Repcfd06722.pdf

Heidegger and Mathematics - Michael D. Pennamacoor

http://an-archos.com/pipermail/heidegger_an-archos.com/1996-May/001366.html

Martin Heidegger - Modern science, metaphysics and mathematics

http://www.scribd.com/doc/6410410/M-Heidegger-Modern-Science-Metaphysics-and-Mathematics

MAKOSHARK: Dik za prispevek, vecer mam co delat. :)

MAKOSHARK: A samozřejmě místo R by tam měl být jednotkový interval [0,1], aby Lebesgueva norma byla normovaná.

Otázka platonismu by sem měla patřit, v té souvislosti jsem nedávno narazil na takový myšlenkový experiment. Hypotéza kontinua je nerozhodnutelná ze ZFC (Zermelova-Fraenkelova teorie množin s axiomem výběru), ale Chris Freiling z nějaké zvláštní pozice platonismu zastává názor, že přesto musí být buď pravdivá, nebo nepravdivá. "Dokazuje", že je nepravdivá.

Dá se celkem lehce dokázat, že když pro každou funkci f z reálných čísel do spočetných podmnožin reálných čísel existují body x,y, že x neleží v f(y) a y neleží v f(x), tak neplatí hypotéza kontinua.

Mějme libovolnou f z R do spočetných podmnožin R. Hodíme šipkou na reálnou osu a určíme tím bod x a spočetnou podmnožinu f(x). Ta má Lebesgueovu míru nula (za předpokladu, že je měřitelná), tedy pravděpodobnost, že jiným hodem šipkou s cílem y se strefíme do f(x) je nula. Symetricky to platí i pro x v f(y). Takže neplatí hypotéza kontinua. Více viz heslo Freiling na wikipedii.

Matematika je prevazne kvantifikovany casoprostorovy jazyk. ;) ...Mashine...

The philosopher Ludwig Wittgenstein originally started out by thinking that words were related to facts in the world, then later reversed his position to conclude that the meaning of words lay in their use. Is this reflected in quantum mechanics?

I should first state my own opinion about Wittgenstein's philosophy. I never could do too much with early Wittgenstein and the philosophy of the Tractatus Logico-philosophicus, but I like very much the later ideas of Wittgenstein and his philosophy about language. In the Tractatus, which I thought too narrow, he always thought that words have a well-defined meaning, but I think that is an illusion. Words have no well-defined meaning. We can sometimes by axioms give a precise meaning to words, but still we never know how these precise words correspond to reality, whether they fit reality or not. We cannot help the fundamental situation - that words are meant as a connection between reality and ourselves - but we can never know how well these words or concepts fit reality. This can be seen in Wittgenstein's later work. I always found it strange, when discussing such matters with Bertrand Russell, that he held the opposite view; he liked the early work of Wittgenstein and could do nothing whatsoever with the late work. On these matters we always disagreed, Russell and I.

I would say that Wittgenstein, in view of his later works, would have realized that when we use such words as position or velocity, for atoms, for example, we cannot know how far these terms take us, to what extent they are applicable. By using these words, we learn their limitations.

http://www.fdavidpeat.com/interviews/heisenberg.htm