WENCA: Ta Filozofie čísla je srozumitelný čtení pro zvídavýho laika?

WENCA: Co jsem z toho pochopil, tak kategorie se líbí inuicionistům, protože se v nich dá vybudovat intuicionistická matematika lépe než v množinách.
Nicméně kategorie jsou docela mladé, ne? Tipnul bych tak o století méně než teorie množin. Když se pročítám různými popularizacemi o historii matematiky, tak mi přijde, že i matematici jsou trochu konzervy a dokud je k tomu nedonutí nějaký praktický důvod, tak se sice nebrání rozvíjení alternativních směrů, ale neradi mění ten dominantní.

MAKOSHARK: ale teorie kategorií pronikla např. do haskellu (monády, atd.) nad kterým dnes onanuje kdejaký webový hipstr.

Scott Aaronson on Philosophical Progress | Machine Intelligence Research Institute
http://intelligence.org/2013/12/13/aaronson/

MUI: 1. matematika? 2. zdroj?

A History of Mathematical Notations

http://www.amazon.com/dp/0486677664/?tag=stackoverfl08-20

Like In A Dream II - history of Sacred Fractals
http://videosk.in/watch/ItGVYMmkEH

Gödel Without (Too Many) Tears | Logic Matters
http://www.logicmatters.net/igt/godel-without-tears/

OK, dík jsem zas o něco chytřejší. :)

KAMAHL: Přesně tak. A.D. je tvrzení "pro každou podmnožinu A množiny R existuje výherní strategie pro hru asociovanou k A". Jenže podmnožin R je v L(R) mnohem míň než ve V.

Jinak je slavná věta, že pokud ta podmnožina A je Borelovská, pak existuje výherní strategie pro jednoho z hráčů i ve V (tj. determinace Borelovských množin je dokazatelná v ZFC). Jakmile povolíš, aby A byla jen trochu složitější- analytická ve smyslu, že je to projekce Borelovské množiny v rovině na jednu z os, pak už je obecná existence vyhrávajících strategií ekvivalentní s existencí nějakých velkých kardinálů (myslím měřitelného). A pokud zvyšuješ složitost A podobně ještě dál - projekce komplementu analytické, pak jsi ekvivalentní s ještě většími kardinály, projekce komplementu projekce komplementu analytické ještě větší kardinály, atd.

Takže to, že A.D. platí v L(R) ještě neznamená, že by platil ve zbytku V, chápeme-li V jako nadtřídu L(R)?

KAMAHL: Přesně tak, v L(R) jsou jen objekty, k jejichž konstrukci A.C. není potřeba.

A.C. a A.D. si obecně protiřečí. Pokud v nějakém modelu M teorie množin platí A.C., pak v M už nemůže platit A.D., a naopak. Jakmile platí A.C., resp. stačí existence dobrého uspořádání množiny R, tak s pomocí toho dobrého uspořádání rekurzivně zkonstruuješ množinu A (z definice v Zapletalově článku), pro kterou ani jeden hráč nemá vyhrávající strategii (resp. důkaz jde nějak takto - uvažuj všechny možné strategie pro oba hráče; každá strategie je podle definice jen funkce z přirozených čísel do přirozených čísel, tedy všech strategií je kontinuum mnoho, jako reálných čísel. Užij A.C. a dobře uspořádej množinu všech strategií. Pak proveď rekurzi délky kontinuum, kdy v kroku alfa uvažuj strategii na alfa-tém místě podle onoho dobrého uspořádání a do množiny A přidej nějaké prvky takovým způsobem, abys zajistil, že alfa-tá strategie není vyhrávající pro žádného z hráčů)

V L(R) A.C. neplatí, jednak protože tam platí A.D., ale rychleji se dá ověřit, že R se v L(R) nedá dobře uspořádat.

Pořád mi to není úplně jasné. Znamená to, že i když ve V bude platit A.C. a můžu vybrat podtřídu L(R) ve které neplatí, znamená to, že v L(R) jsou pouze objekty k jejichž konstrukci A.C. není potřeba?

Navíc, pokud teda v L(R) za daných předpokladů bude platit A.D., moc mi není jasné, jak to může protiřečit A.C., chápal bych, kdyby se řeklo, že tam prostě A.C. není použit (jako jsem psal výše), ale když se řekne že mu to "protiřečí", představím si pod tím, že by to mohlo implikovat negaci A.C., ale to mi zas přijde absurdní.

KAMAHL: Je to matoucí, mělo by tam radši být: Předpokládejme, že v univerzu teorie množin platí axiom výběru a dosti silný axiom velkých kardinálních čísel. Pak v analytickém univerzu platí axiom determinovanosti.

Máme univerzum teorie množin V, tj. třída všech množin. Uvnitř univerza V se ale dají najít tzv. vnitřní podmodely teorie množin, tj. podtřídy V, které ale pořád splňují všechny axiomy ZF(C) a jsou to tedy modely teorie množin. Nejznámější je Gödelovo univerzum konstruovatelných množin, je to nejmenší vnitřní podmodel univerza V.

V posledním odstavci toho článku na Wikipedii (Relative constructibility) je definice L(A), což je nejmenší vnitřní podmodel V, který obsahuje množinu A. To analytické univerzum ze Zapletalova článku je potom L(R), kde R je množina všech reálných čísel. Pokud ve V platí A.C. a jsou tam nějaké velké kardinály, pak v L(R) platí A.D. (A.C. v L(R) nikdy neplatí, protože neexistuje žádné dobré uspořádání, které by bylo definovatelné, zatímco všechny množiny v L(R) jsou definovatelné - s výjimkou R, která je tam přidána uměle).