RAKDVER: A sakra, už mě to dohnalo :-) Díky za vyjasnění.

GUMBA: Malá Fermatova věta jde použít pouze když p je prvočíslo. Pro složená čísla je potřeba použít Eulerovu funkci:
Euler's totient function - Wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_totient_function#Euler's_theorem
V tomto případě je rovna (3607-1) *(3803-1) = 13710012 = 2 * 6855006. Což mimochodem vysvětluje tu Kabalu...

BLACKHEAD: Zrovna Collatz je zrádný v tom, že je jednoduše vysvětlitelný a přitom extra těžký na dokázání. (Možná ani nepůjde dokázat, pokud vím, zatím nikdo neprokázal ani "dokazatelnost".)

GUMBA: No kdyz vidim toho Collatze, tak hazim flintu do zita...
Ja nemam vejsku vubec, takze nemam VS vzdelani v zadnem oboru. Muj zajem o vedu vetsinou opada s prvnim reckym pismenem... ;-)

BLACKHEAD: Já těm věcem za mák nerozumím, jen občas úspěšně předstírám, že ano. Ten přesah do spousty oblastí je holt jeden z benefitů povolání fyzika: před nematematiky/ičkami můžu předstírat pokročilé znalosti matematiky, před nechemiky/ičkami vytahovat své fragmenty znalostí chemie, atd. atd. A s fyzikou můžu dokonce dělat ramena i na fyziky a fyzičky, pokud jsou z jiných fyzikálních podoborů :-)

Jinak ona se překvapivě dost velká část těchto věcí v teorii čísel (a nejen tam) pomocí bruteforce opravdu řeší. Nemám sice moc přesnou představu, jak vlastně matematici na ty svoje důkazy přicházejí, ale prostě u některých zapeklitých věcí se nakonec zaseknou. A pak (nebo i před tím) dojde na počítače. Klasika je obarvitelnost map. Jasně, použijí se vždy nějaké promakané triky (jak maktematicky, tak potom na algoritmy toho brutálu), aby se neprocházelo všechno, ale v jádru a na konci už je to opravdu brutalforce. Jedna z věcí, na které v současnosti matematici pálí miliony CPU hodin je stará dobrá klasika Collatzova domněnka. Jestli se nepletu, tak tam dokonce drží prvenství s nejvyšším ověřeným číslem jeden brněnský vědec. Aktuálně prověřil vše až po ~ 2^69.15. :))

GUMBA: Uprimne dekuju za prednasku.

Stydim se, zrejme nejsem vedec, ale "inzenyr". :-D
Ja jsem teda neutrpel vyssi matematicke vzdelani nez ja stredni, takze jsem na to sel od lesa a bruteforcem, priznavam... ;-)

BLACKHEAD: Ono to není zas až tak překvapivé, když si uvědomíme, jak ta perioda vzniká:
987654321 / 123456789 = 8 + 1 / 13717421,
rozklad na prvočísla pro toho jmenovatele je: 13717421 = 3607 × 3803 ... což neobsahuje žádné 2 ani 5 (2 × 5 = 10), pro hledání délky periody p v desetinném rozvoji musíme použít celé to velké číslo. Pro p platí, že 10^p-1 je dělitelné 13717421. Maximální možné takové p je dle malé Fermatovy věty 13717421 - 1, takže to, že vyšlo p = 6855006 je vlastně ještě celkem v pohodě, mohlo to jít i výš :)

Té výše uvedené podmínce 10^p-1 mod 13717421 samozřejmě vyhovují i celočíselné násobky 6855006, to asi nepřekvapí. Takový dvojnásobek mi přijde obzvláště zajímavý a vtipný: 6855006 × 2 ... úplně vypečený, že?
Proč? No je totiž roven 13710012, a když ho zmenším o tu jedničku, která už se nám tu mihla, dostanu 13710011. A to už něco znamená, konkrétně je to totiž už skoro ten původní jmenovatel 13717421. Něco málo ale ještě chybí, a to přihodit číslo 7410. Nicneříkající číslo? Kdepak, toto číslo je náš starý známý, jde o součet prvočísel v rozkladu původního čitatele, 7410 = 3607 + 3803. Kabala? Náhoda? Nemyslím si! :))

Větu "Pokud zbytkem po dělení 987654321 / 123456789 vydělíme čitatele tohoto zlomku a od vzniklého čísla odečteme jeho prvočinitele, získáme o jedničku menší číslo než je dvojnásobek délky periody desetinného rozvoje při dělení 987654321 / 123456789." si nechám vytisknout na tričko.

KAMAHL, AIRGURU: Ja se omlouvam ze do toho jeste picham, ale jsem unesen: 987654321 / 123456789 se zacne opakovat az po 6855006 desetinnych mistech!

Neskutecny!

Zkusil jsem to na milion mist a neopakovalo se to, tak jsem zkusil deset mega...

AIRGURU: A ještě ideálně v každé číselné soustavě, 1/3 má v desítkové periodu 1, ve dvojkové 2, ale ve trojkové perioda netřeba, stejně jako u 22/7 v sedmičkové soustavě... nevím, jestli je to vtipné, ale zajímavé asi ano :)
(pro lenochy: https://planetcalc.com/862/ )

BLACKHEAD: ukaz 2d heatmapu, kde na osach jsou prirozena cisla a barvou je vyznacena delka periody destinneho rozvoje pri jejich vzajemnem vydeleni, nekresli to neco hezkeho?

BLACKHEAD: Tak nic, asi to zase neni takovy objev...

54321 / 12345

Tohle se nezacne opakovat ani po 500 desetinnych mistech... :-o

KAMAHL: Trochu jsem se potloukal v podobnejch prikladech (BLACKHEAD) a nasel jsem treba docela zajimavy cisla...

4321 / 1234

Zdanlive nevinny cislo. Ale trochu zamrazi, kdyz clovek zjisti, ze vysledek je periodicke cislo, jehoz perioda je 88 mist dlouha!

Cisla jako 1 / 3 se periodicky opakujou uz po jedne cislici. Obcas clovek narazi na neco, co se opakuje po trech, nebo ctyrech (4 / 3333). Zlomek, co se obcas uvadi jako lacina nahrazka za π, tedy 22 / 7, se zacina opakovat po sesti cislicich.
Ale tenhle pomerne kratkej zlomek jede 88 cislic, nez se zacne opakovat. Zacinam se bat, ze π se taky "nekde" zacne opakovat... ;-)

KAMAHL: Naproti tomu:

999999999999888888888888777777777777666666666666555555555555444444444444333333333333222222222222111111111111
/
111111111111222222222222333333333333444444444444555555555555666666666666777777777777888888888888999999999999

se povazlive blizi cislu 9

Je mi to povědomý, ale nevim, jestli odsud, nebo odjinud.