ASHLEY: Minimalne v Tarskiho axiomatizaci je (pokud se nepletu) geometrie konzistentni a uplna. Dalsi priklad je napriklad Presburgerova aritmetika (aritmetika ve ktere je scitani ale neni tam nasobeni).

GUMBA: Přesnější formulace by byla, že dnešní (nebo spíš 100 let stará) matematika "by chtěla, aby každá věta byla buď dokazatelná nebo vyvratitelná z axiomů". Kurt Gödel nám ale před necelými těmi 100 lety dokázal, že smůla. I když je možné (v geometrii se orientuju málo), že třeba ta Eukleidova nebo Hilbertova axiomatika není dost složitá na to, aby se na ni Gödelova věta o neúplnosti dala použít.

A pojem ekvivalentní použils IMO správně. (2 tvrzení jsou ekvivalentní, pokud vždy zároveň obě tvrzení platí nebo obě neplatí. Jinými slovy z prvního tvrzení se dá dokázat druhé a z druhého první. A ještě se to dá různě přeformulovat řadou dalších způsobů.)

ASHLEY: Já tomu zas tak nerozumím natolik, abych to úplně správně vysvětlil :) ale prostě dnešní/moderní matematika chce, aby každá věta byla buď dokazatelná nebo vyvratitelná z nějakých axiomů, a ideálně mít i k dispozici postup (algoritmus), který pro danou větu tohle rozhodne, tj. zda je dokazatelná nebo ne. (Pak je taková teorie úplná.) Tedy z dnešního/moderního pohledu je ta původní pětice axiomů "nepěkná" (neúplná), protože tu vlastnost nemá (navíc se taky operuje s pojmy, které se nedefinují, ale tak je to před 2000 lety, že jo). Tohle napravily až mnohem pozdější axiomatizace, tuším Hilbertovy nebo Tarskiho, s vyšším počtem "lépe" definovaných axiomů.

Jinak existuje mnoho dalších variant toho pátého axiomu, z tu se součtem úhlů v trojúhelníku zmiňuje VONTRIX. Ony jsou vlastně ekvivalentní (asi ne úplně správný pojem) axiomy namísto toho pátého Euklidova: tj. lze z nich (a z platnosti ostatních 4 axiomů) odvodit ten pátý.

GUMBA: Tohle je i výborná odpověď na toto.

Můžeš, prosím, trochu rozvinout to tvrzení v závorce, že "geometrie vzešlá z těch pěti axiomů netvořila konzistentní a úplnou teorii/geometrii." Jakože co tvořila? Nebo v čem byla nekonzistentní, příp. neúplná? Díky.

AXTHEB: Euklidovská geometrie žádné nekonečno nezná, takže nemůže říct, co se děje s rovnoběžkami v nekonečnu, na to je potřeba mít nějakou obecnější geometrii. A tam už je možné leccos. Tahle představa tedy imho pochází z těchto obecnějších (např. afinních nebo projektivních) geometrií. A ty jsou výplodem snahy matematiků přicházet věcem na kloub tím způsobem, že se nejdřív něco rozebere na šroubky, kolečka a pružinky, a pak zase poskládá dohromady, přitom hrst součástek zbyde, a zkoumá se, zda ten strojek funguje stejně nebo jinak :)
Euklidův prostor se dá postulovat těmi pěti známými axiomy, přičemž právě na ten pátý (o rovnoběžkách) měli matematici největší pifku, protože tak nějak není zřejmý (přirozený, intuitivní) jako ty ostatní čtyři. Takže se ho všemožně snažili z těch čtyřech vydedukovat, no a když už je to natolik štvalo (protože to nejde), tak ho prostě zkoušeli škrtat a nahrazovat kděčím jiným. (Ono tedy taky matematikům asi vadilo i to, že geometrie vzešlá z těch pěti axiomů netvořila konzistentní a úplnou teorii/geometrii.). Tyhle hrátky mimo jiné vedly na různá zobecnění na jiné geometrie/prostory (Lobačevského a jiné neeuklidovské geometrie). A jedna z věcí, které těmito redukcemi/změnami axiomů také vzniknou, jsou různé projektivní prostory (geometrie), což jsou prostory (geometrie) definované bez vzdáleností (a velikostí úhlů) - tj. bez věcí, které v euklidovském prostoru jsou tak nějak implicitně přítomny. Tím pádem se opošťují od pojmů jako paralelní, ale zas mají jiné výhody např. perspektivu.
Tohle zobecnění také vede k tomu, že euklidovská geometrie je prostě jen speciální případ, kdy pro přímku p a bod A ležící mimo p máme:
- žádnou přímku, která by procházela bodem A a zároveň neměla průsečík s p (eliptické geometrie)
- právě jednu takovou, tj. rovnoběžku (euklidovské)
- dvě, což vlastně znamené nekonečně mnoho (hyperbolické geometrie)

KAERO: To bys chtěl moc, dneska si přece každý udělá svůj "I did my own research" :) Za mě: tohle ať klidně nerozlišují, mně by bohatě stačilo, kdyby si uvědomovali, že obojí by mělo podléhat (popperovské) vyvratitelnosti. To by sfouklo ze stolu 99.9 % blbostí hned.

GAARQ: mno jak pise ten pan - "Základní částice se logicky chovají kvantově. Částice, které jsou z nich vytvořené, už spějí k teorii relativity" - to je prece logicke :)

Jo, a zase - bohuzel prumerny novinarsky pisalek nezna rozdil mezi pojmy teorie a hypoteza. Kdyby v tom clanku bylo vsude dusledne pouzito slovo hypoteza, tak to neni tak zabavne, protoze kazdy ochlasta vymysli za jeden vecer v hospode deset hypotez jen tak od stolu, a po panaku rumu prida jeste dve dalsi :)

A popravde, s rozlisenim teorie vs hypoteza maji problem i vetsina novinaru popularizatoru, a casto to zapominaji rozlisovat i kolegove odbornici.

V Polsku v dobách tuhého socialismu si jeden docent matematiky spočítal, ze dělník v loděnici vydělá 3 x vice než on. Tak si řekl, kašlu na to, proškrtal tituly před a za jménem a sel do fabriky. Ve fabrice se mu samozřejmě dařilo, moc se nepřetrhl a dostával 3x víc než na škole. Pak fabrika představila večerní školu pro dělníky, a ze kdo tam bude chodit, dostane přidáno. Tak se tam docent napsal a začal chodit. Hned první hodinu matematika. Obtížnost jako v prvním ročníku na střední, takže docent jen tak pospává a nedává pozor. Všimne si ho učitel, vyvolá k tabuli a dá mu spočítat obsah kruhu. Docent začne psát, ale zaboha si nemůže vzpomenout na vzorec pro obsah kruhu, takže se to rozhodne odvodit. Napíše si převod do polárních souřadnic, pak to integruje a vyjde mu -pi*r^2, tak tam stoji a přemýšlí, kde se tam vzalo to minus. A z poslední řady někdo zašeptá: "Otoč interval integrace."

(dnes je to vlastně stejné)

PALEONTOLOG: detoxryby'n'acid

MAKROUSEK: detox'n'acid

KOLU: ...and acid!

LOVE_DALI: Deoxyribonucleic acid? To se mi nezdá...

MEJLA77: nerozklikaval jsem odkazy, ale když jsem se dostal k té hříčce s jednotkami, tak mi hlavou problesklo, že to zní jako otázka od Siegera.
A ono jo!

Sem to rozjel. Je to 5+ let. Před covidem. Matematika sedmé třídy nepoužívá homogenní souřadnice (a takhle na blind si tipnu že zdravím plzeňskou sekci české grafiky?). Byl to jeden z mnoha bodů té úlohy, L mělo splnit všechny tři podmínky, rovnoběžky měly mezi sebou mezeru, takže to prostě nemělo řešení kromě nějakých neeuklidovských prostorů.