SPLNYX: Stejně velké ve smyslu kardinality, nikoliv míry.
Důkaz pro tento konkrétní případ velmi jednoduchý: Uvažuj funkci f(x) = (x-1)*1000. Každému číslu z intervalu přiřadí nějaké číslo mezi 0 a 1000 a žádné z nich nezůstane nepřiřazené a žádné dvojici různých čísel z původnímu intervalu nepřiřadíme stejný výsledek.
Co třeba není už tak zřejmé je, že přímka i rovna mají taky pořád stejnou kardinalitu. Ukáže se to třeba takto: Každý bod v rovině se dá charakterizovat 2 reálnými čísly, ta mají nekonečný desetinný rozvoj (pokud ne, prostě nakonec doplníme nekonečno nul) a stejný počet číslic před desetinnou čárkou (pokud ne, opět zarovnáme nulami). Můžeme je "zazipovat" do jednoho čísla tak, že bereme vždy jednu číslici z prvního a další z druhého, tím dostaneme 1 reálné číslo, bod na přímce. Není těžké nahlédnout, že takto můžeme dostat skutečně všechna reálná čísla a přitom žádné z nich dvakrát.