CERMINEK: Hele, chodil si na cviceni? Prijde mi, ze ste to tam museli delat. Kazdopadne, zkusil bych to nejdriv tak, ze ti ukazu, jak by se resil ten treti priklad, kdyby tam bylo jiny zadani, a ty si to zkus aplikovat na to zadani, co tam mas :) (zaprvy je to didaktictejsi, a zadruhy se mi to nechce cely pocitat:) )
Predstav si, ze mas prostor funkci generovany bazi (e^x , x e^x).
Co to je? No to jsou proste vsechny funkce, ktere se daji napsat ve tvaru a * e^x + b * x * e^x. Neboli, ktere jdou zapsat jako nejaka linearni kombinace prvku te baze.
To taky znamena, ze pokazdy nemusime vypisovat ty e^x, ale kazdou funkci z toho prostoru jednoznacne urcujou ty cisla a a b. Takze, kazda funkce v tom tvaru odpovida nejakymu vektoru (a,b). Takze treba vektor (2,3) odpovida funkci 2 * e^x + 3 * x * e^x.
Ted. Vime, ze funkce se daji derivovat. Taky vime, ze derivace je linearni zobrazeni (= derivace souctu je soucet derivaci, a derivace(cislo*neco) = cislo * derivace(neco)). Jeste ale navic vime, ze kdyz budeme derivovat nejakou funkci z toho naseho prostoru, tak dostaneme nejakou jinou funkci, ktera ale bude furt v tom nasem prostoru. Kdyz treba budu derivovat tu funkci 2 * e^x + 3 * x * e^x, ktera odpovida vektoru (2,3), tak dostanu 5 * e^x + 3 * x * e^x, coz je funkce odpovidajici vektoru (5,3).
Linearita a zachovani prostoru mi ale teda zarucujou, ze derivovani dokazu reprezentovat pomoci matice! Matice je neco, co kdyz vynasobim s vektorem, tak dostanu jinej vektor. A to je presne to co chci. Chci nejakou matici, kterou kdyz pustim na vektor (2,3), tak dostanu vektor (5,3). Nebo obecne, kdyz ji pustim na vektor (a,b), tak dostanu jako vysledek vektor (a+b,b). Kdyz se nad tim zamyslis, tak zjistis, ze ta matice by vypadala takhle (znacim ji D):
| 1 1 |
| 0 1 |
Da se to resi bud soustavou rovnic, kde budou ctyri neznamy prvky matice, a dve rovnice, ale porovnanim koeficientu dostanes vsechny ctyri hned. Nebo je dost mozny, ze sloupce ty matice jsou ta derivace aplikovana na vektory (1,0) a pak (0,1). (za to nerucim, ale nejspis je to obecne pravda).
Tedka je pro nas uz i jednoduchy spocitat, jakou matici by mela druha derivace. Protoze druha derivace to je akorat dvakrat aplikovana prvni derivace. Coz je symbolicky D(D(f)) neboli "D * D * f" neboli " (D*D) * f ". Takze matice druhe derivace bude akorat maticove vynasobene D*D. Jak uz ji mame, tak muzeme jednoduse spocitat obraz, neboli v nasem pripade druhou derivaci, libovolne funkce f z toho naseho prostoru. (to muzeme i tak, ze to rucne naderivujem samozrejme, ale ted to delame maticove! :)) )
Pokud bychom chteli pocitat vzor funkce f, pri tom zobrazeni druhe derivace, tak to zas muzeme resit jako soustavu rovnic. Kdyz nam nekdo zada f = (3,4), tak hledame takovy vektor (x,y), aby
D^2 * (x,y) = (3,4) , tj. hledame, na co musime aplikovat druhou derivaci, abychom dostali (3,4). Coz je obycejna soustava rovnic, protoze D^2 je normalni matice.
Alternativne, si muzes spocitat inverzni matici k D^2, ktera dela to samy. Tu kdybys aplikoval na (3,4), tak ti jako vysledek vyjde (x,y).
V tvem pripade je akorat ta baze trochu jina, ze tam pri derivovani skacou nejaky minusy, a taky ma tri prvky, takze ty matice budou 3x3, ale jinak je v principu vsechno stejne :)
K prvnimu prikladu se mozna casem dostanu, ale nedelal jsem to, musel bych ti akorat citovat a prekladat z wikipedie :)