Zajímavě ke vztahu racionálních a reálných čísel ve své Alternativní teorii množin přistoupil profesor Petr Vopěnka. Jestli si to dobře pamatuju, tak si vystačil se spočetnou množinou přirozených čísel N. Vyšel z metafory omezenosti lidských smyslů, schopností a možností. Pro člověka jsou opravdu velká čísla příliš velká (tak velká, že se k nim přičítáním jedničky nikdy nedostaneme :-).
Tohle napodobil tím, že třída přirozených čísel bude obsahovat vlastní podtřídu (začínající jedničkou) uzavřenou na následníka, tu nazval FN. (Ona jich takových samozřejmě obsahuje mnoho, ale FN je průnikem všech takových).

Pak z N vytvořil klasickým způsobem racionální čísla. A ty faktorizoval ekvivalencí x~y když |x-y| < 1/n pro každé n z FN. Takhle z nespojitých racionálních čísel vytvořil kontinuum podložené jednoduchou algebraickou strukturou. Umožňovalo to (s pomocí pár axiomů, se kterými nebudu obtěžovat) třeba počítat limity jak za Leibnize.

AIRGURU: "idealni svet, v kterem se ukazalo, ze iracionalni cisla jsou zcela prirozena.." me pobavilo

HARALD: mi pripomina nas skolni postreh - ze kdyz se zaber jede vic nez petkrat, obvykle se ve strizne vybira z prvnich tri pokusu. A kdyz vic, nez desetkrat, byva nejlepsi ten prvni pokus.

Profesor Kvasnica nás na úvodní přednásce zahrnul spoustou praktických postřehů. Dodnes si pamatuju ten, že když je něco potřeba počítat do nekonečna nebo nekonečněkrát opakovat, tak se málokdy dostaneme za čtvrtý člen nebo čtvrté opakování. Prostě pro většinu praktických aplikací nekonečno = 4.

AIRGURU: myslim, ze v ramci techto otazek je zajimavy kouknout na tyhle dve ceske knizky (slouzi i jako dobrej zdroj k dalsim textum)

O špatném nekonečnu - Vojtěch Kolman (ed.), Robert Roreitner (ed.) | KOSMAS.cz - vaše internetové knihkupectví
https://www.kosmas.cz/knihy/191535/o-spatnem-nekonecnu/

a

https://www.kosmas.cz/knihy/144714/filosofie-cisla/

GILHAD: to právě všechno jde, koukni třeba na tohle: https://www.amazon.com/...ations-Constructive-Analysis-Errett-Bishop/dp/4871877140#reader_4871877140
Je to vlastně matematika, kde se neuznává důkaz sporem - aby se dokázala existence nějakého objektu, nestačí dokázat, že jeho neexsitence by vedla ke sporu, ale musí se skutečně zkonstruuovat ten objekt. A překvapivě se tímto způsobem dá vystavět prakticky celá analýza...i když v ní nemáš reálná čísla tak jako v klasické analýze.

Našel jsem na wiki něco co se týká toho všeho:
Constructivism (philosophy of mathematics) - Wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Constructivism_(philosophy_of_mathematics)

AIRGURU: jeno jsem to proletěl, ale tam se prostě řeší exisence dvou matematik - té co uznává aximo výběru a té co ho neuznává. Btw jak jsem psal o tom Fefermanovi, tak to je žák Tarského.

AIRGURU: Ono by to vedlo k problemum uz u obycejnych integralu, kdyz by se zakazalo integrovat pod pulkruznici a vaha idealni mince by "nesla" spocitat ... nemluve o fure dalsich zajimavych cisel, ktera jsou take iracionalni. Takove jednoduche reseni, "ze se vezme neco pricetne racionalniho pobliz" by melo za dusledek, ze u slozitejsich operaci by vysledek zavisel na poradi scitani a odcitani a tak podobne. Konvergujici funkce/posloupnosti by mohly nemit limitu a spousta vet by se odvozovala podstatne hur.

Pro takove to "zednicke pocitani" by se to klidne dalo zaokrouhlovat/orezavat treba nekde na Planckove konstante a baraky by kvuli tomu nepadaly, ale v podstate by to pro teoretickou matematiku nebylo moc odlisne od toho, kdyby se pocitalo treba jen v celych cislech.

AIRGURU: Banach-Tarski není důsledek iracionálních čísel, ale axiomu výběru. Existují i verze matematiky, kde se místo axiomů výběru používá jeho opak, ale matematici kteří takhle pracují jsou dnes už v minoritě. Je pak pěkné, že každá množina je měřitelná,každá funkce integrovatelná, nejsou některé ty paradoxy atd. ale zase nejsou ani některé věty jako Hahn-Banach a podobně. O tomhle i věcech z článku co jsem linkoval psal např. Feferman.

Matematiku bez iracionálních čísel propaguje jeden australský profesor (zapomněl jsem jméno), ale nevím jak moc dobře to má vymyšlené, nebo do jaké míry to je regulérní věda či jen nějaký výstřelek. Nestudoval jsem to...

DIRK: Za mých mladých let býval veškerý odpor marný.