JIRRA: mám k Poště připojený @icloud.com a @gmail.com, u obou služeb se to chová stejně.
Ale v mezičase jsem přišel na to, že když bočním tlačítkem obrazovku telefonu manuálně zamknu, tak pak maily chodí a hlásí se korektně. Není to optimální, ale jako workaround to zatím funguje.