Ty faktoriály mi připomněly jednu matematickou náhodu, co mi přijde docela zajímavá, tak se o ní takhle při pátku podělím. Jde o tzv. problém dělových koulí (cannonball problem) a s tím související záležitosti v teorii grup:
Slavný mořeplavec Walter Raleigh bral přípravy na své námořní výpravy zřejmě dost vážně, protože angažoval např. matematiky a astronomy, aby vzdělávali jeho kapitány a navigátory. Jedním z nich byl Thomas Harriot, kterého se zvídavý Raleigh při jedné z cest do Ameriky údajně zeptal, jak nejlépe poskládat dělové koule na palubě lodi. (Představuju si, že seděli na palubě, nudili se, bafali z dýmek - Harriot údajně naučil Raleigha kouřit tabák - a tu se podívali na ty naskládané dělové koule.) Bavili se o problému, zda koule naskládané do čtyřboké pyramidy (tak jak je dělostřelci obvykle skládají) lze naskládat také do čtverce. Matematicky formulováno: zda existuje takové přirozené číslo, že součet druhých mocnin od jedničky až do tohoto čísla (včetně) je rovněž druhá mocnina nějakého přirozeného čísla. Harriot došel k tomu, že řešení existuje, a kromě zřejmých řešení 0 a 1, je jím číslo 24, tj. pyramida o výšce 24 pater (čtverec pak je 70x70 = 4900 dělových koulí). O několik staletí později pak bylo dokázáno, že to je jediné netriviální řešení.
No a to by bylo, aby to s něčím dalším v matematice nesouviselo :) Souvisí to s tzv. kissing problémem (jak se dotýkají koule v n-dimenzionálním prostoru). Když se John Leech v 60. letech 20. století snažil vylepšit tehdy existující nejlepší směstnání koulí, objevil jedno speciální, které má optimální uspořádání koulí ve 24-dimenzionálním prostoru. Tohle uspořádání (Leechova mřížka) má nejvyšší možnou hustotu a každá koule se dotýká celkem 196 560 sousedních koulí (dotýkají se, odtud názvy kissing number a kissing problem), přičemž lze dokázat, že lepšího výsledku nelze dosáhnout. To zní jako naprostá pakárna, samozřejmě. Akorát že to je součástí jednoho z největších výdobytků teorie grup (a to je veledůležitá součást matematiky) ve 20. století, kdy se přišlo na to, že tzv. konečné jednoduché grupy*) lze klasifikovat na 4 typy, z nichž 3 mají nekonečně členů (cyklické, alternující, Lieovy) a ta čtvrtá jich má konečný počet. Konkrétně 26. Ta skupina s konečným počtem jsou tzv. sporadické grupy, a na spoustu z nich se přišlo právě díky Leechově mřížce. Jsou zajímavé vtipnými názvy (např. vlastní podgrupy té největší sporadické grupy se nazývají "šťastná rodinka") a také tím, jak jsou obrovské. Nejmenší je M11, objevil ji Mathieu už v 19. století, a má 24·32·5·11 = 7920 prvků. Největší sporadická grupa, tzv. monster group, má 246·320·59·76·112·133·17·19·23·29·31·41·47·59·71 = 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000 prvků.
Zde si prosím povšimněte, že toto číslo je dělitelné počtem dělových koulí v cannonball problému. Náhoda? Nemyslím si! :))
*) Grupa je společné označení pro množinu a binární operaci, která mezi prvky množiny působí, přičemž výsledkem té operace na libovolné dva prvky množiny je opět prvek té množiny. Asi nejsnáze představitelná grupa je množina celých čísel + operace sčítání. Sečtením jakýchkoliv dvou celých čísel zase dostanu celé číslo. Ale může to být i trochu abstraktnější a prvky mohou být třeba operace symetrie, takže např. cyklická grupa symetrií C6 obsahuje všechny operace symetrie, které např. převedou vrcholy pravidelného šestiúhelníka zase na sebe (takže tam budou patřit prvky jako otočení o násobky 60°, různá zrcadlení, středová inverze, atd.).
Grupy mohou mít tzv. podgrupy. Např. v té grupě celých čísel se sčítáním mohu najít podgrupu sudá celá čísla + sčítání. No a jednoduchá grupa je taková grupa, která nemá žádné podgrupy kromě těch triviálních (identity a sebe sama). V podstatě je tedy jednoduchá grupa taková analogie k prvočíslu, to je taky dělitelné jen jedničkou a sebou samým.